一、 前言
在日常生活中，我们总会买些带包装的饮料，如金属包装的、塑料包装的、纸质包装的，在包装的外形方面也有各种各样的形状，有圆柱形、长方体等形状，饮料的包装设计包含了一定的数学原理，对于包装的设计要考虑成本因素外，还须考虑生态环境的保护，便于携带等因素，因此，厂家在设计包装时就要从上述方面入手。通过对本课题的研究，得出对饮料的包装的一种较为合理的设计方案，同时通过我们的亲身参与，使我们能够更深入的了解自然，走向社会，养成科学的精神和态度，提高综合运用所学的数学知识解决实际问题的能力。
二、 研究的内容
（1） 饮料的体积固定时不同的包装的形状对所用材料的多少的影响及对制造容器时的工作量的影响；
（2） 饮料包装的材料选择及包装的发展方向。
三、 有关数据的采集
在周六等课余时间我们到超市等场所测量了相关数据
表一：易拉罐的相关数据（铝质包装）
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品种 |
高（cm） |
底面半径（cm） |
体积（cm3） |
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双鹿啤酒 |
11.9 |
3.15 |
350 |
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椰子汁 |
13.2 |
2.65 |
250 |
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旺仔牛奶 |
8.5 |
3.2 |
245 |
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露露饮料 |
16.8 |
3.2 |
500 |
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健力宝 |
10.2 |
3.25 |
330 |
四、有关易拉罐制造成本问题的数学建模及计算过程
假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种饮料所用的材料最少则成本就越低，也就最合理，
① 易拉罐（双鹿啤酒）的表面积S=2π×3.15×11.9+2π×3.152≈297.8（cm2）
每立方厘米啤酒所需包装材料是297.8/350=0.85（cm2）
② 易拉罐（椰子汁）的表面积S=2π×2.65×13.2+2π×2.652≈264（cm2）
每立方厘米椰子汁所需包装材料是264/250=1.06（cm2）
③ 易拉罐（旺仔牛奶）的表面积S=2π×3.2×8.5+2π×3.22≈235（cm2）
每立方厘米旺仔牛奶所需包装材料是235/245=0.96（cm2）
④易拉罐（露露饮料）的表面积S=2π×3.2×16.8+2π×3.22≈402（cm2）
每立方厘米露露饮料所需包装材料是402/500=0.804（cm2）
⑤易拉罐（健力宝）的表面积S=2π×3.25×10.2+2π×3.252=274（cm2）
每立方厘米健力宝饮料所需包装材料是274/330=0.83（cm2）
从上面五种饮料的计算结果可以看出，在相同体积的情况下，露露饮料所用的材料要比其它饮料的少，即节省了资源。那么，从节省资源的角度来说，何种设计是最合理的呢？
设易拉罐的高为h，底面圆半径为r，由圆柱的体积公式V=
πr2·h，得h=V/πr2，又易拉罐的表面积S=2πr2 +2πr h，所以S=2πr2 +2V/r
按设计要求知，体积V是常数，半径r是变量，表面积S是r的函数，故问题转化为数学问题：当r取何值时函数S取最小值？
由S=2πr2 +2V/r =2πr2 + V/r + V/r≥3 =3, 当且仅当2πr2 = V/r ，即r =时，易拉罐具有最小的表面积3 ，此时易拉罐的高h =2r。也即当易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料最少。
五、饮料包装的材料的选择及发展方向
市场上饮料的包装除了用铝合金作原料外，还有许多用了纸质包装和塑料来作包装，制造易拉罐用的铝锭中铝的含量在97%以上，另含有微量的铁、锰、镁、铜、锌等，用纸质来作包装材料在材料价格上要便宜些，对环境也可起保护作用，但纸质包装容易破损，在饮料的保质期上也远远不如用铝合金作包装的长，用塑料（聚乙烯）作包装材料同样在价格上便宜，但一个明显的不足是对环境的影响较大，稳定性好，不易分解，容易造成污染。
近几年来，包装工业正在进行着一场技术革新 绿色包装，它是指可以回收利用的、不会对环境造成污染的包装，其内涵为资源的再生利用和环境保护，绿色包装发源于1987年联合国环境与发展委员会发表《我们共同的未来》，到1992年6月联合国与环境与发展大会通过《里约环境与发展宣言》、《21世纪议程》，在全世界范围内掀起了一个以保护生态环境为核心的绿色浪潮。“绿色包装”（Green package）有人称作：“环境之友包装”（Enviromental
Fiendly package）或生态包装（Ecological package）。绿色包装应是：对生态环境和人体健康无害，能循环复用和再生利用，可促进持续发展的包装。也就是说包装产品从原材料的选择、产品制造、使用、回收和废弃物的整个过程均应符合生态环境保护的要求。它包括了节省资源、能源、减量、避免废弃物的产生，易回收复用，再循环利用，可焚烧或降解等生态环境保护要求的内容。也就是世界工业发达国家要求包装做到的“3R”和“1D”（Reduce减量化、Reuse重复使用、Recycle再循环和Degradable可降解）原则。
六、小结
鉴于对以上的材料分析，我们认为对于饮料的包装设计材料若选择塑料（聚乙烯）为原料，虽然成本较低，但由于对它的降解性的研究方面作的还不够，对环境影响很大，因而不宜采用，而应选择可回收再利用的金属或较容易分解的纸质为包装材料更恰当，并且在外形制作上以选择等边圆柱形比较合适。
指导老师：刘伟杰
课题研究小组成员：朱海霞 蒋清清 吴淑芳 郑靖慷 富吉勇 林建南 郑明星 张 镇
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